אסימפטוטות אנכיות ו״חורים״

בכל פעם שיש שבר טריגונומטרי ומכנה שמתאפס.
המקרה הנפוץ ביותר הוא $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
המכנה הוא $\cos(x)$.
הוא מתאפס ב-$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, ולכן שם יש אסימפטוטות.
גם ביטויים אחרים כמו $\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}$ יוצרים נקודות בעיה כשהמכנה מתאפס.
בכל מקרה: מפרקים לגורמים. אם אפשר לצמצם, זה חור. אם לא, אסימפטוטה.

מפרקים לגורמים ומנסים לצמצם. למשל ב-$f(x) = \frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$:
המונה: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.
מצמצמים $2\sin(x)$ ממונה ומכנה.
נשאר $f(x) = \cos(x)$.
ב-$x = 0$: מונה ומכנה מתאפסים.
אחרי צמצום: $f(0) = \cos(0) = 1$.
זה חור ב-$(0,\ 1)$, לא אסימפטוטה.

כן, כשלמכנה יש כמה גורמים שמתאפסים. כל אחד נבדק בנפרד.
למשל $f(x) = \frac{x^2+5x+4}{x^2+8x+7} = \frac{(x+4)(x+1)}{(x+7)(x+1)}$.
ב-$x = -1$: מצמצמים (x+1) ממונה ומכנה.
מציבים: $\frac{3}{6} = 0.5$.
חור ב-$(-1,\ 0.5)$.
ב-$x = -7$: אין צמצום, המכנה עדיין מתאפס.
אסימפטוטה אנכית ב-$x = -7$.

מציבים ערך קרוב, למשל $x = -1.0001$.
אם התוצאה היא מספר סביר (כמו $0.4999...$) - חור.
אם התוצאה מכילה $10^{11}$ או מספר ענק - אסימפטוטה.
לדוגמה: ב-$f(x) = \frac{x^2+5x+4}{x^2+8x+7}$ מציבים $x = -1.0001$ ומקבלים $\approx 0.5$, כלומר חור ב-$(-1, 0.5)$.

מפרקים לגורמים ומציבים. למשל $\lim_{x \to -1} \frac{x^2+5x+4}{x^2+8x+7}$:
פירוק: $\frac{(x+4)(x+1)}{(x+7)(x+1)}$.
צמצום: $\frac{x+4}{x+7}$.
הצבה: $\frac{-1+4}{-1+7} = \frac{3}{6} = 0.5$.
מספר סופי, לכן חור ב-$(-1,\, 0.5)$.

לשאלון 571: פירוק לגורמים וצמצום הוא השיטה המוכרת. בדיקה במחשבון מהירה לאימות.
לשאלון 572: שיטת הגבולות היא הדרך הרשמית לכתוב פתרון מלא.
בשני המקרים: אחרי שמצאתם שיש חור, חובה לציין את קואורדינטת $y$ של החור.