משפט חוצה הזווית

כל קטע צמוד לצלע שיוצאת מאותו קודקוד. הקטע AD נוגע בקודקוד A ולכן מתאים לצלע AB שגם יוצאת מ-A. הקטע DC נוגע בקודקוד C ולכן מתאים לצלע BC. לכן מתקיים $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$. הטעות הנפוצה היא להצליב את הצדדים, למשל לכתוב AD חלקי DC שווה ל-BC חלקי AB.

במשפט חוצה הזווית נתון שהישר חוצה זווית, ומסיקים מכך את היחס בין הקטעים. במשפט ההפוך נתון היחס בין הקטעים, ומסיקים מכך שהישר חוצה זווית. שאלו את עצמכם מה נתון ומה צריך להוכיח: אם החוצה נתון, משתמשים במשפט הישר. אם היחס נתון וצריך להוכיח חוצה זווית, משתמשים במשפט ההפוך.

כשנתון שישר הוא חוצה זווית במשולש, ויש בשאלה אורכי צלעות או קטעים על הצלע הנגדית. המשפט מתרגם זווית שווה ליחס בין אורכים ומאפשר למצוא אורך חסר. למשל אם AB=8, BC=6 ו-AD=12, אז מתוך $\frac{12}{DC} = \frac{8}{6}$ מקבלים DC=9.

כן. ישר אחד יכול לשמש חוצה זווית ביותר ממשולש אחד באותו שרטוט. אם BD חוצה את הזווית במשולש הגדול, וגם נמצא בתוך משולש קטן יותר, ייתכן שהוא חוצה זווית גם שם. כדאי לבדוק בכל משולש בנפרד באילו זוויות הישר משתתף, כדי לא לפספס נתון שימושי.

הדרך הבסיסית היא להראות שהישר יוצר שתי זוויות שוות, בעזרת דמיון משולשים או חפיפת משולשים. דרכים מהירות נוספות: במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס והתיכון לבסיס הם חוצי זווית, בדלתון במעוין ובריבוע האלכסונים חוצים זוויות, וכששני משיקים יוצאים למעגל מנקודה אחת הישר אל מרכז המעגל חוצה את הזווית שביניהם.