קטע אמצעים

כי שני קטעים יכולים להיות בעלי אותו אורך בלי להיות מקבילים. בקטע אמצעים יש שתי תכונות שמתקיימות בו-זמנית: הוא חצי הבסיס, וגם מקביל לו. בהוכחות, המקבילות חשובה לפעמים יותר מהאורך — היא זו שמייצרת זוויות מתחלפות, מתאימות וחד-צדדיות שאפשר להשתמש בהן.

הדרך הישירה: מראים שהקטע מחבר את אמצעי שתי צלעות של המשולש. דרך נוספת: מראים שהוא יוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה — לפי המשפט ההפוך הוא חוצה את הצלע השלישית, ולכן הוא קטע אמצעים.

כל ישר היוצא מהקודקוד אל הצלע השלישית נחצה על ידי קטע האמצעים. הסיבה: קטע האמצעים מקביל לבסיס, ולפי משפט תאלס במשולש, ישר מקביל לצלע שעובר באמצע צלע אחרת חוצה גם את הישר היוצא מהקודקוד. זו תכונה חזקה שלא תמיד מוזכרת בספר אבל מאוד שימושית בהוכחות.

קטע האמצעים בטרפז שווה לחצי סכום הבסיסים: אם הבסיסים הם $a$ ו-$b$, אורכו $\frac{a+b}{2}$. הסיבה: האלכסון מחלק את הטרפז לשני משולשים, ובכל אחד מהם קטע האמצעים של הטרפז מתפקד גם כקטע אמצעים. בחצי המשולש העליון תרומתו $\frac{a}{2}$, בחצי התחתון $\frac{b}{2}$, וביחד $\frac{a+b}{2}$.

בעיקר כשנתונים שני תיכונים במשולש, או כשנתון אמצע של צלע אחת ויש קושי לקשר אותו לצלעות אחרות. בטרפז, כדאי לחשוב על קטע אמצעים כאשר נתון ישר מקביל לבסיסים שעובר באמצע שוק — לפי משפט תאלס הוא בהכרח עובר גם באמצע השוק השנייה, ולכן הוא קטע אמצעים.